Моя подставка(брусы) чем обшить?

[Ranger]

Допис від Перец

типа креплю дсп на 5 см, и потом на него двери или как?

Совершенно верно.
Внимательно посмотрите. Практически ваш вариант: вместо вашего бруса 40х40 стоит черная профильная труба 40х40, к ней - планка (смотреть только на вертикальную!), к ней - дверь на петлях.

Кстати, и навесы бывают очень разные. Я использовал те, что в открытом состоянии образуют угол в 270°, но чаще всего встречаются с углом в 180° или чуть больше (посмотрите дверцы шкафов у себя на кухне). Бывают даже 225° (крепить можно по диагонали ). То есть 4 см на самом деле - не такая уж проблема, можно описать свое изделие в том же эпицентре и вам что-то подберут.

Бывают навесы (петли), что крепятся снаружи дверцы - в вашем случае самое оно. Надо просто выбрать достаточно красивые.

На мой взгляд у вас самое большое неудобство - узость "шкафчиков" и их дверей, вот над этой проблемой я бы думал. Хотя может так только кажется на фото...
А проблему "как закрепить двери" решить можно сотней способов. Вы только выбирайте! Скажите какой вариант Вам нравится внешне, а потом все вместе подумаем - как его реализовать. Ведь форум именно для этого ИМХО!